SSA post-analysis of COVID-19 incidence magnitude in Novosibirsk Region

Full Text

Введение

Пандемия COVID-19 стала одной из самых значительных глобальных угроз здравоохранению в XXI веке, оказала глубокое влияние на все аспекты жизни общества, экономику и системы здравоохранения. Поиск эффективных мер по контролю и предотвращению распространения новых вирусов требует адекватной оценки прошедшей пандемии и постанализа эпидемиологических данных по распространению вируса, его клинических характеристик и последствий для здоровья населения.

Вместе с тем работ по анализу реальных данных по пандемии COVID-19 значительно меньше, чем по разработке моделей, прогнозирующих развитие эпидемии. В статье [28] авторы провели всесторонний обзор открытых наборов данных по COVID-19. Обзор обобщал типы данных и область их применения. Авторы показали, что основным видом открытых данных были медицинские изображения, текстовые и речевые данные (записи кашля). В работе [24] проведен анализ наборов данных по распространению COVID-19 в Индии с помощью методов машинного обучения для понимания того, какая возрастная группа больше всего пострадала из-за вируса. В работе [18] авторы исследовали клинические данные и продемонстрировали использование моделей машинного обучения для прогнозирования наличия COVID-19 у пациента. В частности, через анализ клинических данных авторы успешно дифференцировали пациентов с COVID-19 от пациентов с гриппом типа A. Авторы статьи [9] на основе официальных данных по заболеваемости делают обзор и сравнительный анализ развития эпидемиологической ситуации и политики ответных мер во Франции, Бельгии и Канаде на ранних стадиях пандемии. В статье [12] авторами приводится анализ временной динамики вспышки коронавирусной инфекции за первые 3 месяца 2020 г. в Китае, Италии и Франции. Анализ показывает, что кинетический параметр, описывающий скорость выздоровления, по-видимому, одинаков независимо от страны, в то время как показатели инфицирования и смертности более зависимы от региона. Отметим без детального описания еще несколько работ [7, 8, 31], в которых ключевая роль также отведена анализу эпидемиологических данных. Как показывает литературный обзор, превалирующая часть работ, посвященная анализу данных, описывающих эпидемиологическую ситуацию, написана и посвящена описанию первого начального этапа развития эпидемии (2020 г.). Работы по постанализу данных фактически отсутствуют. В большинстве это работы, связанные с анализом текстовых сообщений в социальной сети Twitter для оценки социальных настроений общества во время процесса вакцинации [25]; экономических последствий пандемии [30]; наличия коллективного иммунитета в Австрии [27]. Постанализа данных о многолетней динамики вируса SARS-CoV-2 автором найдено не было. Вместе с тем результат такого анализа может дать ответы на некоторые актуальные вопросы, например:

• как менялась восприимчивость населения к разным штаммам вируса?
• как отличить новый штамм вируса от сезонного распространения инфекции?
• каковы ключевые тренды, паттерны и корреляции, которые могут быть использованы для прогнозирования будущих вспышек и оценки эффективности внедренных мер общественного здравоохранения?

Данная работа посвящена ответу на предложенные выше вопросы на примере SSA-анализа наблюдений за распространением коронавирусной инфекции в Новосибирской области (Россия) в период с 2020 по 2022 г.

Материалы и методы

Описание используемого для анализа набора данных. Для анализа были выбраны наблюдения за динамикой COVID-19 в Новосибирской области (Россия). Данные доступны онлайн и могут быть найдены по ссылке https://ai-biolab.ru/data/En. Помимо данных по Новосибирской области, по ссылке также доступны данные по заболеваемости в Москве, Санкт-Петербургу, Омске и Республике Алтай (Россия). Данные по Новосибирской области были выбраны для анализа, поскольку они являются наиболее полными. Описание датасета представлено в таблице.

 

Таблица. Описание полей анализируемых данных, доступных по ссылке https://ai-biolab.ru/data/En

Table. Description of the analyzed data, available at the link https://ai-biolab.ru/data/En

Имя поля Feature	Описание Description
date	- текущая дата в формате YYYY-MM-DD - current date in YYYY-MM-DD format
new_diagnoses	- количество новых выявленных случаев заражения коронавирусом - the number of newly identified cases of coronavirus infection
cum_diagnoses_article	- официальное общее число выявленных случаев заражения коронавирусом за все время пандемии - the official total number of identified cases of coronavirus infection throughout the pandemic
cum_diagnoses	- общее число выявленных случаев заражения коронавирусом в регионе за все время пандемии - the total number of detected cases of coronavirus infection in the region during the entire pandemic
new_recoveries	- количество новых случаев выздоровления человек с начала пандемии - the number of new cases of recovery people since the beginning of the pandemic
cum_recoveries	- всего выздоровевших человек с начала пандемии - total number of recovered people
new_deaths	- количество новых смертей от коронавируса - number of new deaths from coronavirus
cum_deaths	- всего умерших от коронавируса с начала пандемии - total deaths number
cum_tests	- всего проведенных тестов на коронавирус в регионе - total number of coronavirus tests carried out in the region
new_tests	- количество новых проведенных тестов на коронавирус в регионе - number of new coronavirus tests conducted in the region
adults	- текущее количество взрослых пациентов с диагнозом COVID-19 и с подозрением на него в инфекционных стационарах - the current number of adult patients diagnosed with COVID-19 and suspected of having it in infectious disease hospitals
cum_children	- всего зафиксировано случаев заражения коронавирусом у детей с начала пандемии - total number of cases of coronavirus infection in children recorded since the start of the pandemic
new_children	- новое количество инфицированных детей - new number of infected children
cur_children	- текущее число госпитализированых детей с подозрением на коронавирус и подтвержденным диагнозом - the current number of children hospitalized with suspected and confirmed coronavirus
n_critical	- текущее количество человек, находящихся в отделениях реанимации - the current number of people in intensive care units
ventilation	- текущее количество человек, находящихся под аппаратом ИВЛ - current number of people on ventilators
hospitalised	- текущее количество госпитализированных человек - current number of hospitalized people
1vac	- текущее количество человек, получивших одну дозу вакцины «Спутник-V» - the current number of people who have received one dose of the “Sputnik-V” vaccine
2vac	- текущее количество человек, получивших две дозы вакцины «Спутник-V» - the current number of people who have received two doses of the “Sputnik-V” vaccine
positive_percent	- доля инфицированных, имеющая антитела IgG к SARS-CoV-2 - proportion of infected people with IgG antibodies to SARS-CoV-2
yandex_index	- индекс самоизоляции (от компании Yandex) - self-isolation index (proposed by Yandex)
asympt_percent	- текущий процент бессимптомных выявленных случаев - current percentage of asymptomatic cases detected

 

Для анализа были выбраны следующие поля: new_diagnoses, new_deaths, n_critical, hospitalised, ventilation, поскольку эти поля являются ключевыми для описания динамики распространения SARS-CoV-2 в рассматриваемом регионе.

Метод анализа сингулярного спектра (Singular Spectrum Analysis). Метод Singular Spectrum Analysis (SSA), также известный как «метод гусеницы», представляет собой мощный инструмент для анализа, декомпозиции и прогнозирования временных рядов числовых измерений [10, 13]. Этот метод был разработан в 1980-х гг. и с тех пор получил широкое признание в различных областях, таких как экономика, метеорология, медицина и многие другие. Временным рядом здесь называется последовательность наблюдений за динамической системой.

Принцип работы метода SSA основывается на разложении временного ряда на набор компонент: различные виды трендов, сезонностей, циклов и случайных колебаний. При этом каждая компонента ассоциирована с вкладом сингулярного числа траекторной матрицы ряда и его векторов. Так, будем рассматривать временной ряд X_t = (x₁,...,x_N) длины N, такой что $x_i\in ℝ,i\in \left\{\mathrm{1,...,}N\right\}$. Метод сингулярного анализа заключается в реализации нескольких шагов.

Шаг 1. Построение траекторной матрицы. Пусть L (1 < L < N) — некоторое целое число (выбираемое пользователем), называемое длиной окна, и K = N – L + 1. Траекторной матрицей ряда X_t будем называть

$X=\left[\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& x_3& \dots & x_K\\ x_2& x_3& x_4& \dots & x_{K+1}\\ x_3& x_4& x_5& \dots & x_{K+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_L& x_{L+1}& x_{L+2}& \dots & x_N\end{array}\right],$

где матрица X является ганкелевой размерностью L × K.

Шаг 2. Сингулярное разложение траекторной матрицы. Далее для траекторной матрицы получают сингулярное разложение, позволяющее оценить собственные значения и собственные векторы матрицы X. Пусть d = rank(X). Тогда X представимо в виде суммы элементарных матриц:

$X=\sum _{i=1}^d\sqrt{{\lambda }_i}{U}_i{V}_i^T=\sum _{i=1}^d{X}_i.$

Здесь U_i, i = 0,...,d – 1 и V_i, i = 0,...,d – 1 — левые и правые сингулярные вектора, которые по свойству SVD составляют ортонормированные базисы пространства строк и пространства столбцов матрицы X, соответствующие упорядоченным по убыванию собственным числам l_i, i = 0,...,d – 1 матрицы S = XX^T. Матрицы X_i называют элементарными.

Шаг 3. Группировка элементарных матриц. Далее элементарные матрицы с похожими свойствами могут быть сгруппированы. Множество всех индексов {0,...,d – 1} разбивается на m непересекающихся подмножеств I₁,...,I_m. Пусть I = {i₁,...,i_p}, тогда результирующая матрица X_I, соответствующая группе I, определяется как X_I = X_i1 +...+ X_ip. Тогда траекторная матрица X представляется в виде суммы сгруппированных матриц X = X_I1 +...+ X_Im.

Шаг 4. Диагональное усреднение. Далее каждую сгруппированную матрицу X_I1 необходимо развернуть обратно во временной ряд. Для этого каждая матрица X_Ij сгруппированного разложения ганкелизуется и затем полученная ганкелева матрица трансформируется в новый временной ряд длины N. Диагональное усреднение, примененное к каждой результирующей матрице X_Ii, производит восстановленные ряды ${{\tilde{X}}_t}^{\left(k\right)}=({\tilde{x}}_1^{\left(k\right)},\dots ,{\tilde{x}}_N^{\left(k\right)})$, k = 1,...,m. Таким образом, исходный ряд X_t раскладывается в сумму m восстановленных рядов:

$X_t=\sum _{k=1}^m{\tilde{X}}_t^{\left(k\right)}.$

(1)

Разложение (1) является главным результатом алгоритма SSA, поскольку каждая результирующая компонента ${\tilde{X}}_t^{\left(k\right)}$ соотносится с набором собственных значений траекторной матрицы исходного ряда и может быть интерпретируема либо как тренд, либо как колебания (периодики), либо как шум. Метод SSA обладает рядом преимуществ для анализа временных рядов. Во-первых, метод не требователен к структуре ряда, не требователен к предположению распределения данных, применим к нестационарным временным рядам. Во-вторых, компоненты, полученные в результате анализа, легко интерпретируются в рамках исследуемых данных и визуализируются. В-третьих, метод достаточно устойчив к шуму в данных. К недостаткам метода относят сложность выбора гиперпараметров метода: выбор размера окна L для формирования траекторной матрицы и количества ключевых компонент ряда может быть затруднительным, зависит, в большей степени, от субъективного мнения исследователя и требует адаптации под конкретные данные. Другой сложностью является выбор набора элементарных матриц, которые могут быть сгруппированы на шаге 3. Этот выбор также определяется исследователем.

Различные модификации метода используются для заполнения пропусков в данных [32], поиска разладок [2] и прогнозирования [29]. Можно найти большое число работ по прогнозированию развития пандемии COVID-19 с использованием метода SSA в период начала развития эпидемии (см., например, работы [3, 14]). Работ по постанализу данных известно не много. Например, в работе [20] проведены исследования причинно-следственных связей между изменениями погоды и распространением COVID-19 через показатели мобильности населения (несоблюдение изоляции), в том числе с помощью SSA-анализа. Хотелось бы отметить еще работу [11], где проведен анализ многомерных, многомасштабных клинических данных и лабораторных результатов для классификации клинических фенотипов.

Результаты применения метода SSA к имеющимся данным

Данные по числу новых детектированных инфицированных

Сначала представим результаты постанализа для данных по числу новых выявленных случаев заражения коронавирусом (поле new_diagnoses в датасете). На рис. 1 представлен вклад i-той элементарной матрицы этого ряда, ассоциированной с i-тым сингулярным числом траекторной матрицы, отсортированным в порядке убывания. Из рисунка видно, что максимальное собственное число вносит четверть вклада в последовательность данных, а первые 10 элементарных матриц объясняют 80% траекторной матрицы ряда.

 

Рисунок 1. Процент объяснительной возможности первых 30-ти элементарных матриц для траекторной для числа новых детектированных инфицированных

Figure 1. Percentage of explanatory power of the first 30 elementary matrices for the trajectory for the number of newly detected infected

 

Элементарные матрицы были сгруппированы по принципу совпадения частот соответствующих им элементарных рядов. На рис. 2 изображены выделенные методом SSA основные компоненты из временного ряда по числу новых заболевших коронавирусом в г. Новосибирске за период с 2020 по 2023 г. Так, нулевая компонента была выделена в отдельный ряд, представляющий собой общий тренд развития заболеваемости с течением пандемии. Этот тренд, соответствующий изменению скорости распространения вируса при переходе от одного штамма вируса к другому, на рисунке представлен синей линией. Первая, вторая и третья компоненты были объединены и развернуты в один ряд, который соответствует периодам повышения количества случаев обнаружения заболевания, ассоциированным с появлением нового штамма (оранжевая линия). Отметим, что полученные периоды повышения по датам совпадают с официально зарегистрированным появлением штаммов Whuhan, Delta, Omicron, Deltacron. Оставшиеся с 4-й по 10-ю компоненты также были объединены в один ряд. Так были выбраны периоды повышения количества случаев обнаружения заболевания, не связанные со штаммами. Такие периоды могут быть ассоциированы с сезонностью заболеваемости и ее хроническим течением (зеленая линия). Отметим, что последний выделенный ряд имеет периодичность в пределах 3-х месяцев. Выделенные ряды объясняют 80% ряда. Остальные компоненты классифицированы как шум.

 

Рисунок 2. SSA-анализ временного ряда по числу новых заболевших коронавирусом в г. Новосибирске за период с 2020 по 2023 гг.

Figure 2. Caption: SSA analysis of time series of new coronavirus cases in Novosibirsk for the period from 2020 to 2023

 

Данные по числу новых умерших и людей в критическом состоянии

Сходный анализ был выполнен для данных по числу людей, умерших от коронавируса (new_deaths) или находящихся в критическом состоянии (n_critical). На рис. 3 и 4 представлены вклады элементарных матриц, ассоциированных с сингулярными числами траекторных матриц для умерших и больных в критическом состоянии соответственно. Из рисунков видно, что максимальные сингулярные числа для таких рядов вносят превалирующий вклад (92% для умерших, 82% для больных в критическом состоянии). Это может быть объяснено тем, что изменение в уровне смертности (и числа больных в критическом состоянии) в основном объясняется сменой штамма вируса и развитием качества медицинской помощи и профилактических мер на протяжении борьбы с эпидемией, а не с сезонными вспышками.

 

Рисунок 3. Процент объяснительной возможности первых 10-ти элементарных матриц для траекторной для числа новых детектированных умерших от коронавируса

Figure 3. Percentage of explanatory power of the first 10 elementary matrices for the trajectory for the number of newly detected deaths from coronavirus

 

Рисунок 4. Процент объяснительной возможности первых 10-ти элементарных матриц для траекторной для числа новых детектированных больных в критическом состоянии

Figure 4. Percentage of explanatory power of the first 10 elementary matrices for the trajectory for the number of newly detected critically ill patients

 

Таким образом, из данных было выделено по две компоненты — тренд, соответствующий нулевой элементарной матрице, и периодическая компонента, объединяющая с 1 по 6 элементарные матрицы. Выделенные компоненты согласно рис. 3, 4 объясняют более 97% исходных временных рядов. На рис. 5 предложено сравнение нормированных в пределах от [0, 1] выделенных трендов и периодик для обоих рядов. Из рис. 5 видно, что для обоих временных рядов тренды идентичны, что может указывать на их линейную зависимость. Периодичность числа критических случаев в целом совпадает с периодами повышения заболеваемости, обозначенными на рис. 2 как хроническое течение болезни. Пики повышения уровня умерших смещены относительно критических в пределах 1–3 недель для разных штаммов.

 

Рисунок 5. Сравнение выделенных трендовых и сезонных компонент для числа больных в критическом состоянии и умерших больных

Figure 5. Comparison of the obtained trend and seasonal components for the number of critical and deceased patients

 

Данные по числу госпитализированных и пациентов, находящихся на ИВЛ

И, наконец, анализ был выполнен для людей, поступивших на госпитализацию (hospitalised) и находящихся на искусственной вентиляции легких (ventilation) (ИВЛ). Для экономии текста мы не приводим здесь вклад сингулярных чисел (и ассоциированных с ними элементарных матриц) для текущих рядов. Вклад максимальных собственных чисел относительно общего разложения для рядов госпитализированных людей и пациентов, находящихся на ИВЛ, составляет 75 и 73% соответственно. Вклад каждого следующего по модулю сингулярного числа составляет менее 5%. Первые 10 максимальных по модулю сингулярных чисел (и ассоциированных с ними элементарных матриц) объясняют более 95% траекторной матрицы исходного ряда.

Как и в предыдущем случае, трендовые компоненты (см. рис. 6) обоих рядов имеют одинаковое поведение. Пики периодических компонент совпадают между собой для двух исследуемых рядов для вспышки, ассоциированной со штаммом Delta, для остальных имеют смещение в пределах 3-х недель. То есть после пика повышения числа госпитализированных в течение 3-х недель будет наблюдаться пиковая потребность в аппаратах ИВЛ. Возникновение пиков в периодических компонентах совпадает со вспышками, определенными как «сезонные» (ассоциированные с хроническим течением болезни) на рис. 2.

 

Рисунок 6. Сравнение выделенных трендовых и периодических компонент для числа госпитализированных больных и больных, находящихся на ИВЛ

Figure 6. Comparison of the obtained trend and periodic components for the number of hospitalized patients and patients on mechanical ventilation

 

Оценка восприимчивости населения к разным штаммам вируса SARS-CoV-2 с помощью инструментов математического моделирования

Для моделирования динамики распространения коронавируса в период 2020–2022 гг. разрабатывалось большое число математических моделей. В данной работе не будет приводиться детальное описание разных разработанных подходов — существует большое число обзорных работ, описывающих преимущества и недостатки разных моделей. Отметим лишь обзорную работу 2022 г. [1], освещающую развитие области в период быстрого распространения эпидемии, и работу 2024 г. [6], проделанную после завершения пандемии. В большинстве разработанных для прогнозирования распространения COVID-19 моделей лежит принцип SIR-динамики, предложенный еще Кермаком и МакКендриком в 1920-х гг. [15], где популяция разбивается на несколько эпидемиологических групп (в оригинальных работах на три группы: S — неиммунные, I — инфицированные, R — иммунные) и передача вируса определяется через взаимодействие этих групп между собой и набором параметров, описывающих характер распространения вируса (скорость инфицирования, контактное число, скорость выздоровления и т. д.). На основе такого принципа моделирования было разработано большое число более сложных моделей, например, в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений [26], уравнений в частных производных [22], моделей оптимального управления [5] и агентно-ориентированных моделей [4]. Основой для качества такого типа моделирования является правильное определение параметров, определяющих распространение вируса. В работе [17, 19] было показано, что наиболее чувствительным параметром, влияющим на результаты моделирования, является параметр скорости распространения вируса. Вместе с тем определение этого параметра является сложной задачей, поскольку сам параметр включает в себя заразность вируса, среднее число контактов заболевшего с неинфицированной частью населения, информацию о соблюдении изоляции и противовирусных мер и т. д. В математическом моделировании для определения этого параметра используются постановки обратных задач относительно реальных данных по числу инфицированных [17].

На основе анализируемых данных для описания распространения вируса SARS-CoV-2 в г. Новосибирске была предложена дифференциальная модель SEIR-HCD [16]. Наличие большого числа измеряемых показателей по распространению пандемии совместно с эпидемиологами позволило разработать сложную математическую модель, позволяющую учесть многие аспекты исследуемого вируса. Модель представляется в виде системы дифференциальных уравнений вида

$\left\{\begin{array}{l}dS/dt=-(5-a)\left({\alpha }_{I}S\left(t\right)I\left(t\right)+{\alpha }_{E}S\left(t\right)E\left(t\right)\right)/5+{\omega }_{imm}R\left(t\right),\\ dE/dt=(5-a)\left({\alpha }_{I}S\left(t\right)I\left(t\right)+{\alpha }_{E}S\left(t\right)E\left(t\right)\right)/5-{\omega }_{inc}E\left(t\right),\\ dI/dt={\omega }_{inc}E\left(t\right)-{\omega }_{inf}I\left(t\right),\\ dR/dt=\beta \cdot {\omega }_{inf}I\left(t\right)+(1-{\epsilon }_{HC})\cdot {\omega }_{hosp}H\left(t\right)-{\omega }_{imm}R\left(t\right),\\ dH/dt=(1-\beta )\cdot {\omega }_{inf}I\left(t\right)+\left(1-\mu \right)\cdot {\omega }_{crit}C\left(t\right)-{\omega }_{hosp}H\left(t\right),\\ dC/dt={\epsilon }_{HC}{\omega }_{hosp}H\left(t\right)-{\omega }_{crit}C\left(t\right),\\ dD/dt=\mu {\omega }_{crit}C\left(t\right)\end{array}\right.$

(2)

с известными начальными условиями

S(0) = S0, E(0) = E0, I(0) = I0, R(0) = R0, H(0) = H0, C(0) = C0, D(0) = D0.

(3)

Здесь популяция разделена на 7 групп: восприимчивые к заболеванию (S), подвергшиеся воздействию или бессимптомные (E), инфицированные или имеющие симптомы (I), иммунные или выздоровевшие (R), госпитализированные (H), больные в критическом состоянии (C) и умершие (D). В каждый момент времени S(t)+E(t)+I(t)+R(t)+H(t)+C(t)+D(t) = 1, где 1 означает всю популяцию. Параметры a,a_I, a_E,w_inc,w_inf,b,e_HC,w_hosp,w_imm,m,w_crit ∈ R, называются эпидемиологическими параметрами и описывают распространение вируса. Здесь a — индекс самоизоляции; a_E,a_I — параметры заразности вируса в пределах эпидемиологических групп E и I; b — доля инфицированных без осложнений; m — смертность; e_HC — доля критических случаев от числа госпитализированных; w_inc,w_inf,w_hosp,w_imm,m,w_crit — обратные величины среднему числу дней (w_inc) от контакта до заражения, (w_inf) продолжительности симптоматического периода, (w_hosp) развития тяжелых случаев в критические, (w_crit) критического состояния, (w_imm) поддержания иммунитета. Область изменения параметров для пандемии COVID-19 и их более подробное описание предложены в [23]. Данная модель была успешно использована для прогнозирования развития COVID-19 в г. Новосибирске и Москве [16]. Модель хорошо исследована [17] и на ее основе предлагались модели оптимального управления [21] и модели среднего поля [23].

Для Новосибирской области параметры модели (2), (3) были восстановлены с помощью решения обратной задачи по данным. Метод восстановления параметров описан в работе [16]. Данные по количеству людей в каждой эпидемиологической группе S, E, I, R, H, C, D были получены из исследуемых в первой части работы данных и представлены в файле по ссылке https://disk.yandex.ru/i/vCTMirdmeGgJwQ. Восстановленные параметры модели (2), (3) могут быть найдены там же.

Скорость передачи вируса здесь определяется совокупностью параметров a_I (5 – a)/5. Напомним, что параметр a здесь является индексом самоизоляции, рассчитываемым во время пандемии компанией Yandex и изменяющимся от 0 до 5, а значения параметра a_I восстанавливались с помощью решения обратной задачи. Вместе с тем динамика скорости передачи вируса со сменой разных штаммов определяется трендом, выделенным по числу новых заболевших и отображенным на рис. 2 (синяя линия). Скорость, с которой динамика передачи вируса развивается, представляет собой первую разность от выделенного тренда и должна отображать динамику изменения скорости передачи вируса. На рис. 7 синей линией изображен нормированный ряд первой разности от выделенного тренда изменения числа инфицированных (см. рис. 2 (синяя линия)). Эти значения сравниваются с нормированным рядом значений параметра скорости передачи вируса a_I (5 – a)/5.

 

Рисунок 7. Сравнение восстановленной по данным через решение обратной задачи для модели (2), (3) совокупности параметров aI (5 – a)/5 (скорость передачи вируса, черная линия) и первой разности для ряда, отображающего тренд изменения количества инфицированных в зависимости от развития штамма (синяя линия)

Figure 7. Comparison of the parameter a_I (5 – a)/5 (virus transmission rate, black line) reconstructed from the data by solving the inverse problem for model (2), (3) and the first difference for a series displaying the trend in the number of infected people depending on the development of the strain (blue line)

 

Из рис. 7 видно, что по данным детектированных инфицированных рост скорости распространения вируса начался сильно раньше, чем это улавливает обратная задача. Покажем, что динамика, полученная по данным (синяя линия из рис. 7) лучше отображает распространения вируса, чем параметры, восстановленные с помощью обратной задачи (черная линия из рис. 7). Положим, что динамика изменения параметра a_I (5 – a)/5 определяется согласно синей линии из рис. 7 и подставим новые полученные значения в модель (2), (3). На рис. 8 приведено сравнение результатов моделирования реальных данных по количеству населения в эпидемиологической группе инфицированных (I) (оранжевая линия), данных, приближенных с помощью модели (2), (3) и динамикой распространения вируса, определяемой через решение обратной задачи (черная линия), и данных, приближенных с помощью модели (2), (3) и динамикой распространения вируса, определяемой через выделенный методом SSA тренд инфицирования населения (зеленая линия). Результаты представлены только для короткого 100-дневного периода, поскольку визуальное различие кривых на всем двухлетнем промежутке нивелируется отличием в масштабе пиковых значений, присущих различным штаммам. Средняя квадратичная разница на всем промежутке между кривой с реальными данными и кривой, посчитанной как решение модели (2), (3) с восстановленными через решение обратной задачи параметрами — 28,96 (в количестве человек). Средняя квадратичная разница на всем промежутке между кривой с реальными данными и кривой, посчитанной как решение модели (2), (3) с восстановленными через SSA-анализ — 22,86 (в количестве человек).

 

Рисунок 8. Сравнение реальных данных по числу инфицированных с результатами моделирования динамики распространения вируса по модели (2), (3), где скорость распространения вируса восстановлена по тренду, выделенному методом SSA (зеленая линия), или через решение обратной задачи (черная линия)

Figure 8. Comparison of real data on the number of infected with the results of modeling the dynamics of the spread of the virus using model (2), (3), where the rate of spread of the virus is reconstructed by the trend identified by the SSA method (green line), or by solving the inverse problem (black line)

 

Выводы

В работе предложен постанализ данных о наблюдениях за динамикой вируса SARS-CoV-2 в г. Новосибирске за период с 2020 по 2023 гг. Анализ данных проводился с помощью метода SSA. Преимущество такого подхода состоит в том, что метод позволяет разбить исследуемый исходный временной ряд на сумму составляющих временных рядов, каждый из которых ассоциирован с некоторым набором сингулярных чисел траекторной матрицы, построенной из элементов исходного временного ряда. Такой подход позволяет строить декомпозицию временного ряда на составляющие: тренды, сезонности, циклы. Метод был применен к данным по числу ежедневно выявляемых случаев заболеваемости COVID-19, числу больных в критическом состоянии, новым случаям смерти от инфекции и числу госпитализированных за промежуток времени с 2020 по 2022 г.

Были получены следующие результаты. Во-первых, метод позволил отделить периоды распространения эпидемии, ассоциированные с появлением нового штамма, от сезонного распространения инфекции. Показано, что вклад изменения штамма вируса в рост (или спад) числа новых случаев заболеваемости в 2020–2022 гг. составлял всего порядка 50%, а оставшиеся случаи приходились на «фоновое» распространение вируса с небольшими сезонными вспышками. Во-вторых, выделен тренд, который соответствовал изменению скорости распространения вируса от перехода от одного штамма вируса к другому. Выдвинута гипотеза, что выделенный тренд может быть использован для уточнения параметра контагиозности вируса, используемого в эпидемиологических моделях, которая была подтверждена на примере использования дифференциальной модели SEIR-HCD. Показан наблюдаемый временной лаг между госпитализацией человека и развитием у него критического состояния.

About the authors

Viktoriya S. Petrakova

Institute of Computational Modeling SB RAS; Sobolev Institute of Mathematics SB RAS

Author for correspondence.
Email: vika-svetlakova@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-1126-2148

PhD (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Researcher

Russian Federation, Krasnoyarsk; Novosibirsk

References

Supplementary files